Нам говорят, что Рождество — самое чудесное время в году. Однако для многих из нас этому предшествует один из наименее чудесных моментов: неловкое социальное зрелище офиса «Тайный Санта» или «Крис Крингл», где сотрудники соглашаются купить подарок для случайно выделенного коллеги.

Когда вы наблюдаете, как ваши коллеги разворачивают свои зачастую совершенно неуместные подарки, каждый из которых выбран коллегой по офису, которого они едва знают, вы осознаете абсолютную статистическую невероятность того, что вы видите. Вероятность того, что такая комбинация этих дешевых повторно подаренных рамок для фотографий, свечей с необъяснимым ароматом или ненужных подарочных наборов Lynx Africa разносится по вашему офису, по-своему является настоящим рождественским чудом.

12! способы Рождества?

Чтобы определить, сколько существует возможных пар покупателей и получателей, необходимо подсчитать количество перестановок участвующих людей.

Рассмотрим рабочее место с четырьмя сотрудниками. Если не существует правила, запрещающего людям выбирать свои собственные имена, есть четыре человека, которые могут быть выбраны для покупки подарка первому человеку.

Как только это решение будет принято, у второго человека останется три варианта, а затем два варианта у третьего. Наконец, есть один выбор рабочего места последнего человека, Санты.

Это означает, что существует 4 × 3 × 2 × 1 = 24 возможных перестановки. Математики записывают это как 4!, что произносится как «четыре факториала».

Однако факториалы вскоре выходят из-под контроля. Подумайте о самом бедном Санте. Из девяти оленей осталось 9! = 362 880 способов их можно устроить, хотя, возможно, в один туманный сочельник это число уменьшается из-за требования, чтобы его сани вел красный нос.

Когда количество офисных сотрудников увеличится до 20, появится более 2,4 квинтиллиона перестановок. Поставлю этому умопомрачительную 20-ку! Если рассматривать эту цифру в контексте, то это более чем в три раза превышает текущие оценки количества песчинок на Земле.

Йоль купи для кого-то другого

Конечно, никто не хочет рисовать себя Тайным Сантой.

На самом деле Тайный Санта хочет не перестановки всех сотрудников, а того, что математики называют расстройством. Это просто перестановка, при которой ни один элемент не остается в исходном положении, что означает, что ни одному сотруднику не придется покупать себе подарок.

Расчет далеко не простой, но количество способов н сотрудникам можно назначить еще одного уникального сотрудника, называемого нчисло де Монмора.

Удивительно, но это равно н !/е , округленное до ближайшего целого числа. евот одно из самых известных чисел в математике, число Эйлера, примерно равное 2,71828, и проклятие любого, кто в школьные годы увлекался таблицами логарифмов.

В 24 показанных перестановках четырех сотрудников имеется 9 нарушений, что равно 24/еокруглено до ближайшего целого числа. Для больших чисел примерно 63,2% возможных перестановок не являются нарушениями и поэтому будут исключены.

Для ситуации с 20 сотрудниками это сокращает более чем 2,4 квинтиллиона перестановок до всего лишь 895 квадриллионов или около того. (Это все еще более чем в 100 миллионов раз превышает нынешнее население планеты.)

Уникально самостоятельный Санта-Клаус?

Еще одна удивительная особенность Тайного Санты связана с количеством людей, которым в среднем будет присвоено собственное имя в результате случайного розыгрыша. Неважно, есть ли у вас один человек (хотя это ужасно несекретный и отчаянно грустный Тайный Санта) или миллиард человек, ожидаемое количество людей, которые будут выделены для покупки собственного подарка, одинаково — всего один человек. .

Полное доказательство немного сложнее, но подумайте, что произойдет, если вы удвоите количество сотрудников. Поскольку подарков нужно купить вдвое больше, шансы каждого выбрать себя уменьшаются вдвое. В два раза больше людей, каждый из которых имеет половину шанса совпадения, дает неизменное среднее значение.

Например, из 24 проиллюстрированных перестановок четырех человек одна включает в себя четыре совпадения себе, ни одна не включает три совпадения себе, шесть включают два совпадения себе и восемь включают одно совпадение себе. В общей сложности это дает 24 возможных совпадения в 24 перестановках, то есть в среднем по одному на каждую.

Хо-хо Надеюсь на лучшее

Если вы оказались в ловушке мрачного офисного детектива, где вам предстоит угадать, кто из ваших коллег подарил здоровенный календарь пожарного без рубашки пожилому коллеге из отдела кадров, по крайней мере, надейтесь, что один из миллиарда или один из триллион перестановок, нарисованных в вашем офисе, принесет вам что-то полезное.

Мэрайя Кэри, возможно, заверила нас в более конкретных просьбах, но все, чего я хочу на Рождество, — это в первую очередь не втягиваться в тайного Санту на рабочем месте.

Да, это действительно обман.

Эта статья переиздана из The Conversation под лицензией Creative Commons. Прочтите оригинал статьи.