Существует ли бесконечность бесконечностей? Вопрос звучит почти абсурдно, как загадка, призванная запутать ваш мозг в узлы. Но для математиков это серьезная и бесконечно увлекательная загадка. Несомненно то, что бесконечность не бывает одного вкуса.

На протяжении веков математики классифицировали бесконечности по своего рода лестнице. Бесконечный набор натуральных чисел — 1, 2, 3 и так далее — находится на одной ступеньке. На более высокой ступени бесконечный набор действительных чисел, включающий десятичные и отрицательные дроби, затмевает ее. И оттуда бесконечности нисходят вверх, образуя бесконечную иерархию.

Недавно исследователи из Венского технологического университета и Университета Барселоны обнаружили два новых слоя этой необъятности, и они не совсем играют по обычным правилам.

Эти новые типы бесконечностей называются точными и сверхточными кардиналами. В отличие от своих предшественников, эти кардиналы отказываются четко вписываться в устоявшуюся иерархию бесконечностей. Их открытие заставляет математиков пересмотреть, что на самом деле означает бесконечность — и может ли в ее основе скрываться хаос.

Сколько существует бесконечностей?

Математики уже давно классифицировали бесконечности в иерархию, в которой некоторые бесконечности больше других. Например, бесконечность счетных чисел (1, 2, 3,…) меньше бесконечности действительных чисел, которая включает в себя бесконечность десятичных знаков от 0 до 1 (и далее).

Математики используют «большие кардинальные аксиомы» для описания этих слоев, определяя конкретные типы бесконечных чисел с уникальными и мощными свойствами. В основании лестницы находится бесконечность натуральных чисел ℵ₀ (алеф-ноль). Поднимаясь выше, открываются бесконечности увеличивающегося размера и сложности: измеримые кардиналы, сверхкомпактные кардиналы и даже так называемые «огромные» кардиналы.

Эти аксиомы следовали предсказуемой линейной прогрессии. Каждая новая «ступенька» лестницы опиралась на предыдущую, создавая устойчивую конструкцию. Но по мере того, как эти бесконечности растут, они расширяют фундаментальные правила математики до предела. Большие кардиналы, например, существуют за пределами ZFC — теории множеств Цермело-Френкеля с аксиомой выбора, структуры, лежащей в основе почти всей современной математики.

«Числа настолько велики, что невозможно доказать их существование с помощью стандартных аксиом математики», — так описала эти сущности Джоан Багария, математик из ICREA и Университета Барселоны. Их существование должно быть допущено посредством новых аксиом. Однако их полезность невозможно переоценить — они позволяют математикам исследовать области математики, которые в противном случае остались бы неразрешимыми.

Требовательные и сверхтребовательные кардиналы — новейшие представители этого пантеона. По словам Багарии, эти кардиналы «живут в самой верхней области иерархии крупных кардиналов» и кажутся совместимыми с Аксиомой выбора.

Точные кардиналы сильнее (или «больше») по своим свойствам, чем многие ранее известные большие кардиналы, а это означает, что они могут взаимодействовать с математической вселенной новыми и неожиданными способами. Сверхтребовательные кардиналы — это еще более мощная и ограничительная версия требовательных кардиналов. Думайте о них как о требовательных кардиналах с дополнительными «сверхспособностями», которые заставляют их взаимодействовать с бесконечностью, усиливая их влияние на математическую вселенную.

Порядок, хаос и гипотеза HOD

На протяжении десятилетий математики спорили, можно ли когда-нибудь приручить бесконечность. Одной из главных надежд была гипотеза HOD, которая предполагает, что даже самые неуправляемые бесконечности могут вписаться в более широкий порядок.

HOD, или наследственная порядковая определяемость, предполагает, что бесконечно большие множества можно определить, «подсчитав» их. Если это правда, это привнесет порядок в математическую вселенную, совместив Аксиому выбора с самыми большими бесконечностями.

Но эти новые кардиналы мутят воду. Требовательные и сверхтребовательные кардиналы, похоже, ломают традиционные стереотипы. «Обычно большие понятия бесконечности «упорядочиваются»», — объяснил Хуан Агилера, соавтор статьи и математик Венского технологического университета. «Сверхтребовательные кардиналы, похоже, другие. Они очень странно взаимодействуют с предыдущими представлениями о бесконечности».

Последствия этого очень глубоки. Если эти новые кардиналы будут приняты, они смогут предоставить убедительные доказательства против гипотезы HOD. «Это может означать, что структура бесконечности более сложна, чем мы думали», — сказала Агилера.

Почему вас это должно волновать?

Речь идет не просто о добавлении нового числа в математическую книгу. Открытия, подобные этому, простираются в неожиданные области. Бесконечность лежит в основе прорывов в криптографии, искусственном интеллекте и космологии. Когда математики открывают новые представления о бесконечности, они открывают путь к прогрессу в таких разнообразных областях, как кибербезопасность и изучение черных дыр.

Требовательные кардиналы также заставляют нас решать более глубокие философские вопросы. Сможем ли мы когда-нибудь полностью понять Вселенную, если бесконечность будет продолжать нас удивлять?

Выводы появились на сервере препринтов arXiv .