В 1914 году Сриниваса Рамануджан прибыл в Кембридж с тетрадью, заполненной 17 необычными бесконечными сериями для 1/π. Они были поразительно эффективными, выдавая точные цифры самого известного в мире иррациональное число гораздо быстрее, чем любая техника того времени. Более века математики считали эти формулы вершиной теории чисел, но им не было «физического» объяснения, почему они так хорошо работают.

Теперь исследователи из Индийского института науки (IISc) обнаружили скрытый мост между «рецептами» Рамануджана для π и передовой физикой, используемой для описания чёрных дыр и турбулентных жидкостей. Исследование предполагает, что Рамануджан интуитивно использовал тот же математический движок, который управляет поведением материи на грани полного преобразования.

Жизнь Шринивасы Рамануджана читается как художественная литература. Родившись в бедности на юге Индии и в значительной степени отрезанный от формального образования, он самостоятельно изучал математику, одержимо изучая любые книги, которые мог найти, а затем продвигаясь далеко за их пределами. Его блокноты были заполнены уравнениями, которые казались целыми, без вывода, словно настроенные с какой-то далёкой частоты.

В начале двадцатых он начал отправлять эти результаты британским математикам по почте, большинство из которых их игнорировали. Один — нет. Британский математик Г. Х. Харди понял, что странные, непроверенные формулы на странице не могут быть просто случайностью. Они были слишком оригинальными, слишком связными. Именно Харди привёл Рамануджана в Кембридж, где молодой математик добился множества результатов, прежде чем болезнь заставила его вернуться в Индию, где он скончался в 1920 году в возрасте всего 32 лет. История Рамануджана была экранизирована в фильме 2015 года Человек, который знал бесконечность.

Семнадцать формул, которые не должны были работать

В 1914 году Шриниваса Рамануджан опубликовал 17 формул для вычисления 1/π. Каждый выглядел почти волшебным.

Добавьте всего несколько терминов — и π быстро становится чётким. По сравнению со старыми методами — такими как длинная, кропотливая серия, восходящая к Архимеду — выражения лица Рамануджана сходились почти взрывно.

Сегодня они всё ещё обеспечивают самые быстрые π вычисления на Земле. «Учёные вычислили π до 200 триллионов цифр с помощью алгоритма, называемого алгоритмом Чудновского», — говорит Анинда Синха, физик из IISc и старший автор нового исследования. «Эти алгоритмы на самом деле основаны на работе Рамануджана.»

Однако Рамануджан мало объяснял, почему его формулы так хорошо работают.

Более века математики рассматривали их как изолированные чудеса. Синха и его соавтор Файзан Бхат хотели узнать, указывает ли эта загадка на что-то более глубокое.

«Мы хотели узнать, вписывается ли исходная точка его формул в какую-то физику», — говорит Синха. «Другими словами, существует ли физический мир, где математика Рамануджана проявляется сама по себе?»

Физика вещей на грани

Их поиски привели к созданию класса теорий с длинным названием и странными последствиями: логарифмические конформные теории поля.

Физики используют конформные теории поля для описания систем в критических точках, таких как моменты, когда материя колеблется между фазами, и обычные понятия масштаба разрушаются.

Вода — классический пример. Когда вода нагревается ровно до 374°C под давлением 221 атмосферы, в этот момент различие между жидкостью и паром исчезает в «сверхтекучее» состояние. Если увеличить или уменьшить масштаб, система выглядит статистически одинаково.

«В критический момент нельзя точно сказать, что жидкое, а что пар», — сказал Синха The Hindu . «Вот в этом моменте CFT [Conformal field theories] Enter: Они используются для объяснения того, что происходит при таких критических явлениях.»

Логарифмические версии этих теорий описывают ещё более странные системы: перколяцию (распространение жидкостей по пористым материалам), плотные полимеры, определённые квантовые состояния Холла и начало турбулентности. Они также встречаются в теоретических описаниях чёрных дыр.

Бхат и Синха обнаружили, что математический основой формул π Рамануджана — та же структура, которая заставляет их так быстро сходиться — также проявляется внутри уравнений, определяющих эти физические теории.

Пи прячется на виду

В основе работы Рамануджана с π рядами лежит математическая идентичность известное как родственность Лежандр. Само по себе это выглядит абстрактно и, по-видимому, не связано с физикой.

Но когда команда IISc переписала её, используя язык конформной теории поля, произошло нечто неожиданное. Символы начали совпадать с физическими величинами: корреляционными функциями, масштабируемыми размерами и операторами, кодирующими, как системы колебаются при критической важности.

В своём анализе загадочные параметры Рамануджана напрямую соответствуют свойствам операторов поворота — математических объектов, отслеживающих поведение систем при нарушении границ или симметрий.

В результате появился новый вычислительный ярлык.

Заимствуя стратегию Рамануджана — сжатие сложного поведения в компактные выражения — исследователи разработали более быстрые способы вычисления ключевых величин в логарифмических конформных теориях поля. В некоторых случаях вычисления, которые обычно требуют суммирования большого количества вкладов, сводятся к одному.

«Удивительно», — пишут авторы, — весь ответ можно получить только из того, что физики называют «оператором тождества».

Такое упрощение намекает на универсальное свойство этих теорий, нечто фундаментальное, скрывающееся под уравнениями.

Чёрные дыры, турбулентность и резинка

Связь продолжается ещё дальше.

В приложении к исследованию авторы показывают, что та же математическая структура встречается в моделях чёрных дыр, описанных с помощью голографии — структуры, где гравитация в более высоких измерениях соответствует квантовой физике в нижних.

В этом контексте формулы Рамануджана соответствуют тому, как возмущения распространяются между горизонтом чёрной дыры и краем пространства-времени. Те же уравнения также описывают, как полимеры растягиваются, как жидкости становятся турбулентными и как формируются кластеры в перколяторных материалах.

Бхат замечает знакомую закономерность.

“[In] В любом произведении прекрасной математики почти всегда существует физическая система, которая действительно отражает математику», — говорит он. «Мотивация Рамануджана могла быть очень математической, но без его ведома он также изучал чёрные дыры, турбулентность, перколяцию, многое другое.»

Синха предлагает метафору, взятую из теории струн. Он объясняет, что верёвка ведёт себя как резинка: если натянуть её по-разному, она проявляет разные свойства. Пи, скрытый внутри этих уравнений, проявляется через бесконечное множество математических точек зрения.

Когда чистая математика ждёт физику

Это не первый случай, когда математика опередила физику на десятилетия.

Риманова геометрия началась как абстракция XIX века, но позже Эйнштейн раскрыл, что само пространство-время подчиняется его правилам. Преобразования Фурье возникли из исследований теплового потока и теперь лежат в основе цифровых изображений, музыки и сжатия данных.

Работы Рамануджана удивительно хорошо вписываются в эту схему.

Работая в основном в изоляции в Индии начала XX века, с минимальным знакомством с современной физикой, он наткнулся на структуры, которые сейчас находятся в центре квантовой теории поля и космологии.

«Нас просто поразило то, как гений, работавший в Индии начала XX века, практически без контакта с современной физикой, предвосхищал структуры, которые теперь являются центральными для нашего понимания Вселенной», — говорит Синха.

За пределами Пи

Исследователи осторожно не преувеличивают свои результаты. Эта работа не решает открытые задачи в теории чисел и не открывает теорию всего.

Но это открывает дверь.

Тот же подход может выявить быстро сходящиеся формулы для других иррациональных чисел. Это могло бы упростить расчёты в теориях, моделирующих турбулентность и критическое поведение.

Исследователи IISc уже смотрят в следующий горизонт. Та же математическая структура, которую они определили в серии пи Рамануджана, вновь появилась в их моделях расширяющейся Вселенной.

Оказывается, когда мы вычисляем окружность окружности, мы можем использовать те же правила, что и сама ткань космоса.

Новые результаты появились в Физические отзывы .